Trigonomeetria

Trigonomeetria valemid ja teoreemid

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.

Funktsioon 0° 30° 45° 60° 90°
Siinus (sin) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
Koosinus (cos) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
Tangens (tan) \(0\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) \(\text{-}\)
Kootangens (cot) \(\text{-}\) \(\sqrt{3}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(0\)

Trigonomeetria põhivalemid

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

\[\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

\[\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]

\[1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\]

\[\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\]

Täiendusnurkate trigonomeetrilised funktsioonid

\[\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\]

\[\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\]

\[ \tan(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \]

Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid

\[\sin(-\alpha) = -\sin \alpha\]

\[\cos(-\alpha) = \cos \alpha\]

\[\tan(-\alpha) = -\tan \alpha\]

Summa ja vahe valemid

\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta}\]

Kahekordse nurga valemid

\[\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\]

\[\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\]

\[\tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\]

Trigonomeetriliste funktsioonide märgid

sin cos tan

Poolnurga valemid

\[\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\]

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\]

\[\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\]

Arkusfunktsioonide omadused

\[\sin(\arcsin x) = x \quad \text{, kui } |\!x| \leq 1\]

\[\cos(\arccos x) = x \quad \text{, kui } |\!x| \leq 1\]

\[\tan(\arctan x) = x \quad \text{, kui } x \in \mathbb{R}\]

\[\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\]

\[\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\]

\[\arctan(-x) = -\arctan(x)\]

Täisnurkse kolmnurga trigonometrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

\[\sin \alpha = \frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}}\]

\[\cos \alpha = \frac{\text{lähis kaatet}}{\text{hüpotenuus}}\]

\[\tan \alpha = \frac{\text{vastaskaatet}}{\text{lähis kaatet}}\]

Siinusteoreem

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Koosinusteoreem

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

\[ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)} \]

\[ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)} \]

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)} \]

Trigonomeetrilised funktsioonid

Siinusfunktsioon

  • Määramispiirkond: X = \( \mathbb{R} \)
  • Muutumispiirkond: Y = \( [-1; 1] \)
  • Paaritu funktsioon
  • \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
  • Periood: \( 2\pi \)
Siinusfunktsioon

Koosinusfunktsioon

  • Määramispiirkond: X = \( \mathbb{R} \)
  • Muutumispiirkond: Y = \( [-1; 1] \)
  • Paarisfunktsioon
  • \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \)
  • Periood: \( 2\pi \)
Koosinusfunktsioon

Tangensfunktsioon

  • Määramispiirkond: X = \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \right\} \)
  • Muutumispiirkond: Y = \( \mathbb{R} \)
  • Paaritu funktsioon
  • \( \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \)
  • Periood: \( \pi \)
Tangensfunktsioon

Trigonomeetrilised põhivõrrandid ja nende lahendivalemid

  1. \( \sin x = m \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^n \cdot \arcsin m + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)
  2. \( \cos x = m \quad \Rightarrow \quad x = \pm \arccos m + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)
  3. \( \tan x = m \quad \Rightarrow \quad x = \arctan m + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)